Выбор оптимальной стратегии замены оборудования как задача динамического программирования. Задача замены оборудования

Замена оборудования – важная экономическая проблема. Задача состоит в определении оптимальных сроков замены старого оборудования (станков, производственных зданий и т.п.). Старение оборудования включает его физический и моральный износ, в результате чего растут производственные затраты, затраты на ремонт и обслуживание, снижаются производительность труда, ликвидная стоимость. Критерием оптимальности являются, как правило, либо прибыль от эксплуатации оборудования (задача максимизации), либо суммарные затраты на эксплуатацию в течение планируемого периода (задача минимизации).

Основная характеристика оборудования – параметр состояния – его возраст t.

При составлении динамической модели замены процесс замены рассматривают как "-шаговый, разбивая весь период эксплуатации на п шагов. Возможное управление на каждом шаге характеризуется качественными признаками, например X е (сохранить оборудование), X" (заменить) и Хр (сделать ремонт).

Рассмотрим конкретный пример.

11.3. Оборудование эксплуатируется в течение 5 лет, после этого продается. В начале каждого года можно принять решение – сохранить оборудование или заменить его новым. Стоимость нового оборудования р 0 = 4000 руб . После t лет эксплуатации (1 < t < 5) оборудование можно продать за g(t) = р 0 T" руб. (ликвидная стоимость). Затраты на содержание в течение года зависят от возраста t оборудования и равны r(i) = 600(i + l). Определить оптимальную стратегию эксплуатации оборудования, чтобы суммарные затраты с учетом начальной покупки и заключительной продажи были минимальны.

Решение. Способ деления управления на шаги, естественный, по годам, п = 5. Параметр состояния – возраст машины – s k_ t =t, s Q= 0 – машина новая в начале 1-го года эксплуатации. Управление на каждом шаге зависит от двух переменных X е и Х

Уравнения состояний зависят от управления:

(11.22)

В самом деле, если к /г-му шагу s k_ { =t, то при сохранении машины (Х к = X е) через год возраст машины увеличится на 1. Если машина заменяется новой (Х к = Х"), то это означает, что к началу ⅞-ro шага ее возраст t = 0, а после года эксплуатации ¢=1, т.е. s k = 1.

Показатель эффективности ⅛-го шага:

(11.23)

При X е затраты только на эксплуатацию машины возраста i, при X 1 машина продается (-4000-2"" J, покупается новая (4000) и эксплуатируется в течение первого года (600), общие затраты равны (-4000 ∙ 2"" + 4000 + 600).

Пусть– условные оптимальные затраты на экс

плуатацию машины начиная с А-го шага до конца при условии, что к началу А-го шага машина имеет возраст t лет. Запишем для функцийуравнения Веллмана (11.5) и (11.8), заменив задачу максимизации на задачу минимизации:

(11.24)

Величина– стоимость машины возраста

t лет (по условию машина после 5 лет эксплуатации продается).

(11.25)

Из определения функцийследует

Дадим геометрическое решение этой задачи. Па оси абсцисс будем откладывать номер шага А, на оси ординат – возраст t машины. Точка (А – 1, ί) на плоскости соответствует началу А-го года эксплуатации машины возраста t лет. Перемещение па графике в зависимости от принятого управления на А-м шаге показано на рис. 11.7.

Состояние начала эксплуатации машины соответствует точке , конец – точкам s(6; t). Любая траектория, переводящая точкуизв, состоит из отрезков-шагов, соответствующих годам эксплуатации. Надо выбрать такую траекторию, при которой затраты на эксплуатацию машины окажутся минимальными.

Рис. 11.7

Над каждым отрезком, соединяющим точки [к -1; /) и [к, ¢ + 1), запишем соответствующие управлению Xе затраты, найденные из (11.23): 600(ί + ΐ), а над отрезком, соединяющим точки (k- ; ¢) и [к; г), запишем затраты, соответствующие управлению X 3, т.е. 4600-4000 2_ί. Таким образом мы разметим все отрезки, соединяющие точки на графике, соответствующие переходам из любого состояния s k_ i в состояние s k (рис. 11.8). Например, над отрезками, соединяющими точки (к; 2) и (/г+1; 3), стоит число 1800 , что соответствует затратам на эксплуатацию в течение каждого года машины возраста t = 2 года, а над отрезками, соединяющими (к, 2) и (£+1; 1), стоит число 3600 – это сумма затрат на покупку машины и эксплуатацию новой машины в течение года без "затрат" (выручки) за проданную машину возраста t лет. Следует учесть, что 0 < t < к.

Проведем на размеченном графе состояний (см. рис. 11.8) условную оптимизацию.

V шаг. Начальные состояния – точки (4; ¢), конечные – (5; ¢). В состояниях (5; ¢) машина продается, условный оптимальный доход от продажи равен 4000 2_ί, но поскольку целевая функция связана с затратами, то в кружках точек (5; ¢) поставим величину дохода со знаком минус.

Анализируем, как можно попасть из каждого начального состояния в конечное на V шаге.

Состояние (4; 1). Из него можно попасть в состояние (5; 2), затратив на эксплуатацию машины 1200 и выручив затем от продажи 1000, т.е. суммарные затраты равны 200, и в состояние (5; 1) с затратами 2600 – 2000 = 600. Значит, если к последнему шагу система находилась в точке (4; 1), то следует идти в точку (5; 2) (укажем это направление двойной стрелкой), а неизбежные минимальные затраты, соответствующие этому переходу, равны 200 (поместим эту величину Zg (1) = 200 в кружке точки (4; 1)).

Состояние (4; 2). Из него можно попасть в точку (5; 3) с затратами 1800 – 500 = 1300 и в точку (5; 1) с затратами 3600 – 2000 = 1600. Выбираем первое управление, отмечаем его двойной стрелкой, a Zg(2) = 1300 проставляем в кружке точки (4; 2).

Рассуждая таким же образом для каждой точки предпоследнею шага, мы найдем для любого исхода IV шага оптимальное управление на V шаге, отметим его на рис. 11.8 двойной

Рис. 11.8

стрелкой. Далее планируем IV шаг, анализируя каждое состояние, в котором может оказаться система в конце III шага с учетом оптимального продолжения до конца процесса, т.е. решаем для всех 0 < t < 4 при k = 4 уравнения (11.22). Например, если начало IV шага соответствует состоянию (3; 1), то при управлении X е система переходит в точку (4; 2), затраты на этом шаге 1200, а суммарные затраты за два последних шага равны 1200 + 1300 = 2500. При управлении X" затраты за два шага равны 2600 + 200 = 2800. Выбираем минимальные затраты 2500, ставим их в кружок точки (3; 1) а соответствующие управления на этом шаге помечаем двойной стрелкой, ведущей из состояния (3; 1), в состояние (4; 2). Так поступаем для каждого состояния (3; t) (см. рис. 11.8).

Продолжая условную оптимизацию III, II и I шагов, мы получим на рис. 11.8 такую ситуацию: из каждой точки (состояния) выходит стрелка, указывающая, куда следует перемещаться в данном шаге, если система оказалась в этой точке, а в кружках записаны минимальные затраты на переход из этой точки в конечное состояние. На каждом шаге графически решались уравнения (11.22).

После проведения условной оптимизации получим в точке (0; 0) минимальные затраты на эксплуатацию машины в течение 5 лет с последующей продажей: Zmin =11900. Далее строим оптимальную траекторию, перемещаясь из точки s0(0; 0) по двойным стрелкам в.?. Получаем набор точек:

{(0; 0),(1;1), (2; 2),(3:1), (4; 2), (5; 3)},

который соответствует оптимальному управлению Х*(ХС, Xе, Х X е, X е). Оптимальный режим эксплуатации состоит в том, чтобы заменить машину новой в начале 3-го года.

Таким образом, размеченный график (сеть) позволяет наглядно интерпретировать расчетную схему и решить задачу методом ДП.

Как уже отмечалось, модели и вычислительная схема ДП очень гибки в смысле возможностей включения в модель различных модификаций задачи. Например, аналогичная задача может быть рассмотрена для большого числа вариантов управления, "ремонт", "капитальный ремонт" и т.д. Можно рассматривать замену оборудования новым с учетом технического прогресса, можно учесть изменения в затратах на эксплуатацию оборудования после его ремонта, в зависимости от года эксплуатации (дороже, дешевле). Все эти факторы можно учитывать вычислительной схемой ДП.

• Все цены условные.
• Напоминаем, что псе затраты выражены в условных рублях.

Динамическое программирование. Задача о замене оборудования

Найти оптимальные сроки замены оборудования. Первоначальная стоимость оборудования q 0 =6000 усл. ед., ликвидационная стоимость L(t)=q 0 2 -i , стоимость содержания оборудования возраста i лет в течение 1 года S(t)=0,1q 0 (t+1), срок эксплуатации оборудования 5 лет. В конце срока эксплуатации оборудование продается. Задачу решить графически.

Для построения графика в ПП Wolfram Mathematica 6.0 вводим

g = Plot[{6000*2^-x, 600*(x + 1)}, {x, 0, 5}]

В итоге получаем график:

Из графика видим, что оптимальный срок замены оборудования является второй год его эксплуатации.

Динамическое программирование. Оптимальное распределение средств между предприятиями

Найти оптимальное распределение средств в размере 9 усл. ед. между четырьмя предприятиями. Прибыль от каждого предприятия является функцией от вложенных в него средств и представлена таблицей:

Вложения в каждое предприятия кратны 1 усл. ед.

Разобьем процесс выделения средств предприятиям на 4 этапа: на первом этапе выделяется y 1 средств предприятию П 1 , на втором -y 2 средств предприятию П 2 , на третьем - y 3 средств предприятию П 3 , на четвертом третьем - y 4 средств предприятию П 4

x n = x n - 1 - y n , n = 1,2,3, 4.

Заметим, что на четвертом этапе выделения средств весь остаток x 3 вкладывается в предприятие П 4 , поэтому y 3 = x 4 .

Воспользуемся уравнениями Беллмана для N = 4.

В результате получим следующие таблицы:

Таблица 1

Таблица 2

Таблица 3

Таблица 4

Из Таблицы 4 вытекает, что оптимальным управлением будет y 1 * =3, при этом оптимальная прибыль равна 42. Далее получаем

х 1 =х 0 -у 1 *=9-3=6, 2 (х 1)= 2 (6)=30, y 2 * =1

х 2 =х 1 -у 2 *=6-1=5, 3 (х 2)= 3 (5)=23, y 3 * =1

х 3 =х 2 -у 3 *=5-1=4, 4 (х 3)= 4 (4)=15, y 3 * =4

Таким образом, наиболее оптимальным является вложение в предприятия П1, П2, П3 и П4 денежных средств в размере 4, 1,1 и 3 усл.ед., соответственно. В этом случае прибыль будет максимальной и составит 42 усл. ед.

Определить оптимальную стратегию использования оборудования в период времени длительностью т лет, причем прибыль за каждые i лет, i = от использования оборудования возраста t лет должна быть максимальной.

Известны

r (t ) – выручка от реализации продукции, произведенной за год на оборудовании возраста t лет;

l (t ) – годовые затраты, зависящие от возраста оборудования t;

с (t ) – остаточная стоимость оборудования возраста t лет;

Р – стоимость нового оборудования.

Под возрастом оборудования понимается период эксплуатации оборудования после последней замены, выраженный в годах.

Воспользуемся приведенными выше этапами составления математической модели задачи.

1. Определение числа шагов. Число шагов равно числу лет, в течение которого эксплуатировалось это оборудование.

2. Определние состояний системы. Состояние системы характеризуется возрастом оборудования t , t= .

3. Определение уравнений. В начале i -го шага, i = может быть выбрано одно из двух управлений: заменять или не заменять оборудование. Каждому варианту управления приписывается число

4. Определение функции выигрыша на i -ом шаге. Функция выигрыша на i -ом шаге – это прибыль от использования оборудования к концу i -го года эксплуатации, t= , i = . Таким образом, если оборудование не продается, то прибыль от его использования – это разность между стоимостью произведенной продукции и эксплуатационными издержками. При замене оборудования прибыль составляет разность между остаточной стоимостью оборудования и стоимостью нового оборудования, к которой прибавляется разность между стоимостью продукции и эксплуатационными издержками для нового оборудования, возраст которого в начале i -го шага составляет 0 лет.

5. Определение функции изменения состояния

(9.7)

Таким образом, если оборудование не меняется х i =0, то возраст оборудования увеличивается на один год t +1, если же оборудование меняется х i =1, то оборудование будет годовалым.

6. Составление функционального уравнения для i =т

Верхняя строка функционального уравнения соответствует ситуации, при которой в последний год оборудование не меняется и предприятие получает выигрыш в размере разницы между выручкой r (t ) и годовыми затратами l (t ).

7. Составление основного функционального уравнения

где W i (t t лет с i -го шага (с конца i -го года) до конца периода эксплуатации;

W i + 1 (t ) – прибыль от использования оборудования возраста t+ 1год с (i +1)-го шага до конца периода эксплуатации.

Математическая модель задачи построена.

Пример

т =12, р= 10, с (t )=0, r (t ) – l (t )=φ (t ).

Значения φ (t ) даны в таблице 9.1.

Таблица 9.1.

Для данного примера функциональные уравнения будут иметь вид

Рассмотрим заполнение таблицы для нескольких шагов.

Условная оптимизация начинается с последнего 12-го шага. Для i =12 рассматриваются возможные состояния системы t= 0, 1, 2, …, 12. Функциональное уравнение на 12-ом шаге имеет вид

1) t= 0 х 12 (0)=0.

2) t= 1 х 12 (1)=0.

10) t= 9 х 12 (9)=0.

11) t= 10 х 12 (10)=0; х 12 (10)=1.

13) t= 12 х 12 (12)=0; х 12 (12)=1.

Таким образом, на 12-ом шаге оборудование возраста 0 – 9 лет заменять не надо. Оборудование возраста 10 – 12 лет можно заменить или продолжить его эксплуатировать, так как для t= 10, 11, 12 имеется два условных оптимизационных управления 1 и 0.

По результатам расчетов заполняются два столбца таблицы 9.2, соответствующие i= 12.

Условная оптимизация 11-го шага.

Для i =11 рассматриваются все возможные состояния системы t =0, 1, 2, …, 12. Функциональное уравнение на 11-м шаге имеет вид

1) t= 0 х 11 (0)=0.

2) t= 1 х 11 (1)=0.

6) t= 5 х 11 (5)=0; х 11 (5)=1.

7) t= 6 х 11 (6)=1.

13) t= 12 х 11 (12)=1.

Таким образом на 11-ом шаге не следует заменять оборудование возраста 0 – 4 года. Для оборудования возраста 5 лет возможны две стратегии использования: заменить или продолжать эксплуатировать.

Начиная с 6-го года оборудование следует заменять. По результатам расчетов заполняются два столбца таблицы 9.2, соответствующие i =11.

1) t= 0 х 10 (0)=0.

2) t= 1 х 10 (1)=0.

3) t= 2 х 10 (2)=0.

4) t= 3 х 10 (3)=0.

5) t= 4 х 10 (4)=1.

13) t= 12 х 10 (12)=1.

На 10-ом шаге не следует заменять оборудование возраста 0 – 3 года. Начиная с 4-го года, оборудование следует заменять, так как новое оборудование приносит бóльшую прибыль.

По результатам расчетов заполняются два столбца в 9.2, соответствующие i =10.

Аналогичным образом заполняются остальные девять столбцов таблицы 9.2. При расчетах W i + 1 (t ) на каждом шаге значения φ (t ) для каждого t =0, 1, 2, …, 12 берутся из таблицы 9.1 исходных данных, приведенной в условии задачи, а значения W i (t ) – из последнего, заполненного на предыдущем шаге столбца в 9.2.

Этап условной оптимизации заканчивается после заполнения таблицы 9.2.

Безусловная оптимизация начинается с первого шага.

Предположим, что на первом шаге i =1 имеется новое оборудование, возраст которого 0 лет.

Для t=t 1 =0 оптимальный выигрыш составляет W 1 (0)=82. Это значение соответствует максимальной прибыли от использования нового оборудования в течение 12 лет.

W*=W 1 (0)=82.

Выигрышу W 1 (0)=82 соответствует х 1 (0)=0.

Для i =2 по формуле (9.7) t 2 =t 1 +1=1.

Безусловное оптимальное управление х 2 (1)=0.

Для i =3 по формуле (9.7) t 3 =t 2 +1=2.

Безусловное оптимальное управление х 3 (2)=0.

В рамках данной задачи оптимальная стратегия заключается в замене оборудования при достижении им возраста 4-х лет. Аналогичным образом можно определить оптимальную стратегию использования оборудования любого возраста.

В левой колонке таблицы 9.2 записываются возможные случаи системы t = , в верхней строке – номера шагов i = . Для каждого шага определяются условные оптимальные управления х i (t ) и условный оптимальный выигрыш W i (t ) c i -го шага и до конца для оборудования возраста t лет.

Управления, составляющие оптимальную стратегию использования оборудования, выделены в таблице 9.2 жирным шрифтом.

Таблица 9.2.

Введение………………...………………………………………………...……….3

Глава 1. Теоретическое описание модели замены оборудования…………..….4

1.1. Характеристика состояния хозяйствующего субъекта и выявление тенденций его развития…………...………………………………..……...4

1.2. Информационно-методическое обеспечение экономического моделирования……………...……...…………………………………...…..4

1.2.1. Методическая база решения модели………………….…………....4

1.2.2. Информационно-методическое обеспечение метода…………..…9

Глава 2. Расчет показателей экономико-математической модели и экономическая интерпретация результатов………………………….………...13

2.1. Нахождение условного оптимального решение задачи…………...15

2.2. Составление оптимального плана замены оборудования…………21

Заключение…………………………………………………………………….....24

Список литературы…………………………………………………………..…..26

Приложения…………………………...………………………………………....27

Введение

Во всем мире существует множество предприятий, которые используют для производства своей продукции машинное оборудование. Поэтому при его внедрении нужно составлять оптимальный план использования и замены оборудования. Задачи по замене оборудования рассматриваются как многоэтаповый процесс, который характерен для динамического программирования.

Многие предприятия сохраняют или заменяют оборудование по своей интуиции, не применяя методы динамического программирования. Применять эти методы целесообразно, так как это позволяет наиболее четко максимизировать прибыль или минимизировать затраты.

Целью данной работы является определение оптимальных сроков замены старого оборудования.

Задачи этой работы состоят:

· в нахождении условного оптимального решения задачи;

· в составлении оптимального плана замены оборудования.

Старение оборудования включает его физический и моральный износ. В результате чего увеличиваются производственные затраты, растут затраты на обслуживание и ремонт, снижается производительность труда и ликвидная стоимость. Критерием оптимальности является либо прибыль от эксплуатации оборудования, либо суммарные затраты на эксплуатацию в течение планируемого периода.

Курсовая содержит 2 главы, 12 таблиц, 1 приложение, 5 рисунков и оформлена на 30 страницах.

Глава 1. Теоретическое описание модели замены оборудования

1.1. Характеристика состояния хозяйствующего субъекта и выявление тенденций его развития

Для осуществления своей эффективной деятельности производственные объединения и предприятия должны периодически производить замену используемого ими оборудования. При этой замене учитывается производительность используемого оборудования и затраты, связанные с содержанием и ремонтом оборудования.

Характерным для динамического программирования является подход к решению задачи по этапам, с каждым из которых ассоциирована одна управляемая переменная. Набор рекуррентных вычислительных процедур, связывающих различные этапы, обеспечивает получение допустимого решения задачи в целом при достижении последнего этапа.

(1.1) - принцип оптимальности Беллмана.

где t – возраст оборудования к началу k-го года ( k=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10);

(1.2) - функциональное уравнение Беллмана.

1.2. Информационно-методическое обеспечение экономического моделирования

1.2.1. Методическая база решения модели

В задачах динамического программирования экономический процесс зависит от времени (от нескольких периодов (этапов) времени), поэтому находится ряд оптимальных решений (последовательно для каждого этапа), обеспечивающих оптимальное развитие всего процесса в целом. Задачи динамического программирования называются многоэтапными или многошаговыми. Динамическое программирование представляет собой математический аппарат, позволяющий осуществлять оптимальное планирование многошаговых управляемых процессов и процессов, зависящих от времени. Экономический процесс называется управляемым, если можно влиять на ход его развития. Управлением называется совокупность решений, принимаемых на каждом этапе для влияния на ход процесса. В экономических процессах управление заключается в распределении и перераспределении средств на каждом этапе. Например, выпуск продукции любым предприятием – управляемый процесс, так как он определяется изменением состава оборудования, объемом поставок сырья, величиной финансирования и т.д. Совокупность решений, принимаемых в начале каждого года планируемого периода по обеспечению предприятия сырьем, замене оборудования, размерам финансирования и т.д., является управлением. Казалось бы, для получения максимального объема выпускаемой продукции проще всего вложить максимально возможное количество средств и использовать на полную мощность оборудование. Но это привело бы к быстрому изнашиванию оборудования и, как следствие, к уменьшению выпуска продукции. Следовательно, выпуск продукции надо спланировать так, чтобы избежать нежелательных эффектов. Необходимо предусмотреть мероприятия, обеспечивающие пополнение оборудования по мере изнашивания, т.е. по периодам времени. Последнее хотя и приводит к уменьшению первоначального объема выпускаемой продукции, но обеспечивает в дальнейшем возможность расширения производства. Таким образом, экономический процесс выпуска продукции можно считать состоящим из нескольких этапов (шагов), на каждом из которых осуществляется влияние на его развитие.

Началом этапа (шага) управляемого процесса считается момент принятия решения (о величине капитальных вложений, о замене оборудования определенного вида и т.д.). Под этапом обычно понимают хозяйственный год.

Динамическое программирование, используя поэтапное планирование, позволяет не только упростить решение задачи, но и решить те из них, к которым нельзя применить методы математического анализа. Упрощение решения достигается за счет значительного уменьшения количества исследуемых вариантов, так как вместо того, чтобы один раз решать сложную многовариантную задачу, метод поэтапного планирования предполагает многократное решение относительно простых задач.

Планируя поэтапный процесс, исходят из интересов всего процесса в целом, т.е. при принятии решения на отдельном этапе всегда необходимо иметь в виду конечную цель.

Предположим, какая-то система S находится в некотором начальном состоянии S 0 и является управляемой. Таким образом, благодаря осуществлению некоторого управления U указанная система переходит из начального состояния S 0 в конечное состояние S к. При этом качество каждого из реализуемых управлений U характеризуется соответствующим значением функции W(U). Задача состоит в том, чтобы из множества возможных управлений U найти такое U*, при котором функция W(U) принимает экстремальное (максимальное или минимальное) значение W(U*).

Задачи динамического программирования имеют геометрическую интерпретацию. Состояние физической системы S можно описать числовыми параметрами, например расходом горючего и скоростью, количеством вложенных средств и т.д. Назовем эти параметры координатами системы; тогда состояние системы можно изобразить точкой S, а переход из одного состояния S 1 в другое S 2 – траекторией точки S. Управление U означает выбор определенной траектории перемещения точки S из S 1 в S 2 , т.е. установление определенного закона движения точки S.

оптимальный динамическое программирование стратегия

В общем виде проблема ставится следующим образом: определить оптимальную стратегию использования оборудования в период времени длительностью m лет, причем прибыль за каждые I лет, i= от использования оборудования возраста t лет должна быть максимальной.

Известны: r(t) - выручка от реализации продукции, произведенной за год на оборудовании возраста t лет, l(t) - годовые затраты, зависящие от возраста оборудования t, c(t) - остаточная стоимость оборудования возраста t лет, P - стоимость нового оборудования. Под возрастом оборудования понимается период эксплуатации оборудования после последней замены, выраженный в годах.

Для построения математической модели последовательно выполняются этапы, сформулированные ниже.

1. Определение числа шагов. Число шагов равно числу лет, в течение которых эксплуатируется оборудование.

2. Определение состояний системы. Состояние системы характеризуется возрастом оборудования t; t=.

3. Определение управлений. В начале i-го шага, i= может быть выбрано одно из двух управлений: заменять или не заменять оборудование. Каждому варианту управления приписывается число

uс - если оборудование не заменяется;

uз - если оборудование заменяется.

4. Определение функции выигрыша на i-м шаге. Функция выигрыша на на i-м шаге - это прибыль от использования оборудования к концу на i-го года эксплуатации, t=, i=.

u1= uс - если оборудование в начале i-го года не заменяется;

u2= uз - если оборудование заменяется.

Таким образом, если оборудование не продается, то прибыль от его использования - это разность между стоимостью произведенной продукции и эксплуатационными издержками. При замене оборудования прибыль составляет разность между остаточной стоимость оборудования и стоимостью нового оборудования, к которой прибавляе6тся разность между стоимостью продукции и эксплуатационными издержками для нового оборудования, возраст которого в начале i-го шага составляет 0 лет.

5. Определение функции изменения состояния

u1 uс - если Xi=0

u2= uз - если Xi=1

6. Составление функционального уравнения для i=m.

7. Составление основного функционального уравнения

Где Wi(t) - прибыль от использования оборудования возраста t лет с i-го шага (с конца i-го года) до конца периода эксплуатации.

Wi+1(t+1) - прибыль от использования оборудования возраста t+1год с (i+1)-го шага до конца периода эксплуатации;

Таким образом, математическая модель задачи построена.

Алгоритм решения задачи

Введём обозначения:

t- возраст оборудования.

L(t) - производство продукции на оборудовании, возраст которого t лет.

R(t) - расходы на содержание оборудования.

P(t) - остаточная стоимость оборудования.

Р - стоимость нового оборудования

Fn(t)- прибыль от старого оборудования возраст которого t лет.

n-последний год.

на старом оборудовании (1)

Это функциональное уравнение

Форма входного документа

Данные могут быть занесены с помощью таблицы:

Таблица №1 . Данные входной информация.

По формуле

Описание программно-технических средств

Разработка программы производилась на языке программирования Borland

Delphi 7.0 при помощи операционной системы Microsoft Windows XP Professional

При разработке программы, использовались компоненты Delphi:

String Grid - для заполнения справочников и отображения результатов

Edit - для ввода значений

Button - для создания кнопки

Label - создание меток, для удобства использования

Image - изображения

MainMenu - Меню программы

OpenDialog - открыть диалог

При разработки программного обеспечения так же использовались следующие системные утилиты:

Антивирусные программа (Dr.Web 4.44)

Программы архиваторы (WinRar v3.45).

утилиты Microsoft Office (Microsoft Word, Excel).

графические редакторы (PhotoShop v CS3)

При разработке программного обеспечения использовался ПК со следующими характеристиками:

Процессор: Intel Pentium(R) 3.00 GHz

Оперативная память: 1Gb DDR2 PC 533

Видео карта: NVIDIA Gee Force FX 6600 128Mb

Жесткий диск: 200 Gb

Монитор: 17" 1280x1025@75Hz

Отладочный пример

найдём максимальную прибыль при замене оборудования через 2 года:

По формуле

Вывод: Максимальную прибыль в размере 215 единиц мы получим, если поменяем оборудование через 2 года на третий.

Описание программы

Программа «Решение задач о замене оборудования» предназначена для предприятий, занимающихся каким-либо родом деятельности, требующего использования определенного оборудования. В силу ряда причин, оборудование изнашивается физически, т.е. ломается и не подлежит ремонту или возникают такие неисправности, при которых проще купить новое оборудование, чем ремонтировать старое, либо изнашивается морально, т.е. темпы роста экономического развития отрасли производства этого оборудования очень велики. Таким образом, для того, чтобы «производство продукции» на таком оборудовании достигало максимального эффекта, его необходимо периодически менять. Эта программа подсчитывает количество лет, через которое нужно сменить оборудование, чтобы получить максимальную прибыль.

Для разработки программы «Решение задач о замене оборудования» был использован язык программирования Delphi 6. В настоящее время эта среда объектно-ориентированного программирования очень популярна, ее основой является язык Object Pascal. Она позволяет создавать приложения различной степени сложности - от простейших программ до профессиональных, предназначенных для работы с базами данных. Кроме того, помощь по программе оформлена в виде HTML-страниц с помощью программы Arachnophilia.

Вся работа с программой основана на работе с меню, с его описанием можно ознакомиться в пункте меню Помощь/Содержание/Работа с меню.

Данная программа создана при выполнении курсового проекта по предмету «Математические методы», на данную тему.