Определение электроемкости уединенного проводника и конденсатора. Электрическая емкость уединенного проводника

Рассмотрим уединенный проводник, т. е. проводник, который удален от других проводников, тел и зарядов. Его потенциал, согласно (84.5), прямо пропорционален заряду проводника. Из опыта следует, что разные проводники, будучи одинаково заряженными, имеют различные потенциалы. Поэтому для уединенного проводника можно записать

Величину

называют электроемкостью (или просто емкостью ) уединенного проводника. Емкость уединенного проводника определяется зарядом, сообщение которого проводнику изменяет его потенциал на единицу.

Емкость проводника зависит от его размеров и формы, но не зависит от материала, агрегатного состояния, формы и размеров полостей внутри проводника. Это связано с тем, что избыточные заряды распределяются на внешней поверхности проводника. Емкость не зависит также ни от заряда проводника, ни от его потенциала.

Единица электроемкости - фарад (Ф): 1 Ф - емкость такого уединенного проводника, потенциал которого изменяется на 1 В при сообщении ему заряда 1 Кл.

Согласно (84.5), потенциал уединенного шара радиуса R , находящегося в однородной среде с диэлектрической проницаемостью e, равен

Используя формулу (93.1), получим, что емкость шара

Отсюда следует, что емкостью 1 Ф обладал бы уединенный шар, находящийся в вакууме и имеющий радиус R = C / (4pe 0)»9×10 6 км, что примерно в 1400 раз больше радиуса Земли (электроемкость Земли С » 0,7 мФ). Следовательно, фарад - очень большая величина, поэтому на практике используются дольные единицы - миллифарад (мФ), микрофарад (мкФ), нанофарад (нФ), пикофарад (пФ). Из формулы (93.2) вытекает также, что единица электрической постоянной e 0 - фарад на метр (Ф/м) (см. (78.3)).

Конденсаторы

для того чтобы проводник обладал большой емкостью, он должен иметь очень большие размеры. На практике, однако, необходимы устройства, обладающие способностью при малых размерах и небольших относительно окружающих тел потенциалах накапливать значительные по величине заряды, иными словами, обладать большой емкостью. Эти устройства получили название конденсаторов.

Если к заряженному проводнику приближать другие тела, то на них возникают индуцированные (на проводнике) или связанные (на диэлектрике) заряды, причем ближайшими к наводящему заряду Q будут заряды противоположного знака. Эти заряды, естественно, ослабляют поле, создаваемое зарядом Q, т. е. понижают потенциал проводника, что приводит (см. (93.1)) к повышению его электроемкости.

Конденсатор состоит из двух проводников (обкладок), разделенных диэлектриком. На емкость конденсатора не должны оказывать влияния окружающие тела, поэтому проводникам придают такую форму, чтобы поле, создаваемое накапливаемыми зарядами, было сосредоточено в узком зазоре между обкладками конденсатора. Этому условию удовлетворяют (см. § 82): 1) две плоские пластины; 2) два коаксиальных цилиндра; 3) две концентрические сферы. Поэтому в зависимости от формы обкладок конденсаторы делятся на плоские, цилиндрические и сферические .

Так как поле сосредоточено внутри конденсатора, то линии напряженности начинаются на одной обкладке и кончаются на другой, поэтому свободные заряды, возникающие на разных обкладках, являются равными по модулю разноименными зарядами. Под емкостью конденсатора понимается физическая величина, равная отношению заряда Q , накопленного в конденсаторе, к разности потенциалов (j 1 - j 2) между его обкладками:

(94.1)

Рассчитаем емкость плоского конденсатора, состоящего из двух параллельных металлических пластин площадью S каждая, расположенных на расстоянии d друг от друга и имеющих заряды + Q и – Q . Если расстояние между пластинами мало по сравнению с их линейными размерами, то краевыми эффектами можно пренебречь и поле между обкладками считать однородным. Его можно рассчитать используя формулы (86.1) и (94.1). При наличии диэлектрика между обкладками разность потенциалов между ними, согласно (86.1),

(94.2)

где e - диэлектрическая проницаемость. Тогда из формулы (94.1), заменяя Q = s S , с учетом (94.2) получим выражение для емкости плоского конденсатора:

(94.3)

Для определения емкости цилиндрического конденсатора, состоящего из двух полых коаксиальных цилиндров с радиусами r 1 и r 2 (r 2 > r 1), вставленных один в другой, опять пренебрегая краевыми эффектами, считаем поле радиально-симметричным и сосредоточенным между цилиндрическими обкладками. Разность потенциалов между обкладками вычислим по формуле (86.3) для поля равномерно заряженного бесконечного цилиндра с линейной плотностью t = Q / l (l - длина обкладок). При наличии диэлектрика между обкладками разность потенциалов

(94.4)

Подставив (94.4) в (94.1), получим выражение для емкости цилиндрического конденсатора:

(94.5)

Для определения емкости сферического конденсатора, состоящего из двух концентрических обкладок, разделенных сферическим слоем диэлектрика, используем формулу (86.2) для разности потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях r 1 и r 2 (r 2 > r 1) от центра заряженной сферической поверхности. При наличии диэлектрика между обкладками разность потенциалов

(94.6)

Подставив (94.6) в (94.1), получим

Если d = r 2 - r 1 <<r 1 , то r 2 » r 1 » r и C= 4pe 0 er 2 /d. Так как 4pr 2 -площадь сферической обкладки, то получаем формулу (94.3). Таким образом, при малой величине зазора по сравнению с радиусом сферы выражения для емкости сферического а плоского конденсаторов совпадают. Этот вывод справедлив и для цилиндрического конденсатора: при малом зазоре между цилиндрами по сравнению с их радиусами в формуле (94.5) ln (r 2 /r 1) можно разложить в ряд, ограничиваясь только членом первого порядка. В результате опять приходим к формуле (94.3).

Из формул (94.3), (94.5) и (94.7) вытекает, что емкость конденсаторов любой формы прямо пропорциональна диэлектрической проницаемости диэлектрика, заполняющего пространство между обкладками. Поэтому применение в качестве прослойки сегнетоэлектриков значительно увеличивает емкость конденсаторов.

Конденсаторы характеризуются пробивным напряжением - разностью потенциалов между обкладками конденсатора, при которой происходит пробой - электрический разряд через слой диэлектрика в конденсаторе. Пробивное напряжение зависит от формы обкладок, свойств диэлектрика и его толщины.

Для увеличения емкости и варьирования ее возможных значений конденсаторы соединяют в батареи, при этом используется их параллельное и последовательное соединения.

1. Параллельное соединение конденсаторов (рис. 144). У параллельно соединенных конденсаторов разность потенциалов на обкладках конденсаторов одинакова и равна j A – j B . Если емкости отдельных конденсаторов С 1 , С 2 , ..., С n , то, согласно (94.1), их заряды равны

а заряд батареи конденсаторов

Полная емкость батареи

т. е. при параллельном соединении конденсаторов она равна сумме емкостей отдельных конденсаторов.

2. Последовательное соединение конденсаторов (рис. 145). У последовательно соединенных конденсаторов заряды всех обкладок равны по модулю, а разность потенциалов на зажимах батареи

где для любого из рассматриваемых конденсаторов Dj i = Q /С i . С другой стороны,

т. е. при последовательном соединении конденсаторов суммируются величины, обратные емкостям. Таким образом, при.последовательном соединении конденсаторов результирующая емкость С всегда меньше наименьшей емкости, используемой в батарее.

Как отмечалось выше, потенциал электрического поля заряженного проводника имеет одинаковую величину во всех точках проводника. Если принять потенциал этого электрического поля на бесконечности равным нулю, то между зарядом проводника, находящегося достаточно далеко от других проводников, и его потенциалом имеется линейное соотношение

где коэффициент пропорциональности , зависящий от геометрических характеристик проводника и свойств окружающей среды, называется ёмкостью уединённого проводника .

В случае проводящего шара радиусом , находящегося в вакууме, его ёмкость

Если Землю считать проводящим шаром с радиусом , то её ёмкость окажется равной . Опыт показывает, что благодаря грозовой деятельности Земля обладает отрицательным зарядом ~, который создаёт вблизи её поверхности постоянное электрическое поле ~. Благодаря проводимости своего тела человек не чувствует это поле, поскольку поле индуцированных зарядов полностью компенсирует электрическое поле Земли во всех точках тела. Атмосфера Земли в целом обладает положительным зарядом, причём разность потенциалов между верхними слоями атмосферы и поверхностью Земли достигает .

Если взять два проводника и один из них зарядить положительным зарядом , а другой – отрицательным зарядом , то разность потенциалов этих проводников связана с зарядом линейным соотношением

где C - ёмкость данной системы проводников, которая называется конденсатором , V – напряжение на конденсаторе.

Ёмкость конденсатора зависит от геометрии проводников, называемых обкладками конденсатора, и характеристик среды между этими обкладками. Приведём формулы, описывающие ёмкость основных типов конденсаторов для случая, когда между их обкладками создан вакуум.

Если пространство между обкладками конденсатора заполнено диэлектриком с относительной диэлектрической проницаемостью , то его ёмкость

Таким образом, ёмкость конденсатора может быть увеличена за счёт увеличения площади пластин и относительной диэлектрической проницаемости среды, а также уменьшения расстояния между пластинами.

Энергия заряженного конденсатора равна работе сил, которая совершается при разделении зарядов с противоположными знаками в процессе его зарядки. Допустим, что бесконечно малый заряд перемещается от отрицательно заряженной обкладки конденсатора с потенциалом к положительно заряженной обкладке . При бесконечно медленном перемещении такого заряда работа, совершаемая внешней силой,

, (4.13)

где - заряд конденсатора и C – емкость конденсатора.

Полная работа внешней силы при зарядке конденсатора

, (4.14)

где - конечный заряд конденсатора и - конечное напряжение на конденсаторе. По определению энергия заряженного конденсатора

В формуле (4.14) носителями энергии заряженного конденсатора являются заряды на обкладках конденсатора, что соответствует теории дальнодействия. В этой теории энергия заряженного конденсатора есть потенциальная энергия взаимодействия зарядов, равная работе внешней силы при пространственном разделении зарядов с противоположными знаками.

Согласно теории близкодействия носителем энергии заряженного конденсатора является электрическое поле, распределённое между обкладками конденсатора. Для предания формуле (4.14) новой физической интерпретации перепишем её для частного случая плоского конденсатора следующим образом

где - объём области между обкладками конденсатора и

Проводники и диэлектрики в электростатическом поле.

Если поместить проводник во внешнее электростатическое поле или его зарядить, то на заряды проводника будет действовать электростатическое поле, в результате чего они начнут перемещаться.

Перемещение зарядов (ток) продолжается до тех пор, пока не установится равновесное распределение зарядов, при котором электростатическое поле внутри проводника обращается в нуль. Это происходит в течение очень короткого времени. В самом деле, если бы поле не было равно нулю, то в проводнике возникло бы упорядоченное движение зарядов без затраты энергии от внешнего источника, что противоречит закону сохранения энергии. Итак, напряженность поля во всех точках внутри проводника равна нулю:

Отсутствие поля внутри проводника означает, согласно (85.2), что потенциал во всех точках внутри проводника постоянен (j=const), т.е. поверхность проводника в электростатическом поле является эквипотенциальной . Отсюда же следует, что вектор напряженности поля на внешней поверхности проводника направлен по нормали к каждой точке его поверхности.

Рассмотрим уединенный проводник, т. е. проводник, который удален от других проводников, тел и зарядов. Его потенциал, согласно (84.5), прямо пропорционален заряду проводника. Из опыта следует, что разные проводники, будучи одинаково заряженными, принимают различные потенциалы. Поэтому для уединенного проводника можно записать

Величину

C=Q/j (93.1)

называют электроемкостью (или просто емкостью) уединенного проводника. Емкость уединенного проводника определяется зарядом, сообщение которого проводнику изменяет его потенциал на единицу. Емкость проводника зависит от его размеров и формы, но не зависит от материала, агрегатного состояния, формы и размеров полостей внутри проводника. Это связано с тем, что избыточные заряды распределяются на внешней поверхности проводника. Емкость не зависит также ни от заряда проводника, ни от его потенциала. Сказанное не противоречит формуле (93.1), так как она лишь показывает, что емкость уединенного проводника прямо пропорциональна его заряду и обратно пропорциональна потенциалу.

Единица электроемкости - фарад (Ф): 1 Ф - емкость такого уединенного проводника, потенциал которого изменяется на 1В при сообщении ему заряда в 1 Кл.

Согласно (84.5), потенциал уединенного шара радиуса R, находящегося в однородной среде с диэлектрической проницаемостью e, равен

Используя формулу (93.1), получим, что емкость шара

С = 4pe 0 eR . (93.2)

Отсюда следует, что емкостью в 1 Ф обладал бы уединенный шар, находящийся в вакууме и имеющий радиус R= С/(4pe 0)»9 10 6 км, что примерно в 1400 раз больше радиуса Земли (электроемкость Земли С»0,7мФ). Следовательно, фарад - очень большая величина, поэтому на практике используются дольные единицы - миллифарад (мФ), микрофарад (мкФ), нанофарад (нФ), пикофарад (пФ). Из формулы (93.2) вытекает также, что единица электрической постоянной e 0 фарад на метр (Ф/м) (см. (78.3)).

Диэлектрик (как и всякое вещество) состоит из атомов и молекул. Так как положительный заряд всех

ядер молекулы равен суммарному заряду электронов, то молекула в целом электрически нейтральна. Если заменить положительные заряды ядер молекул суммарным зарядом +Q, находящемся в центре «тяжести» положительных зарядов, а заряд всех электронов - суммарным отрицательным зарядом -Q , находящемся в центре «тяжести» отрицательных зарядов, то молекулу можно рассматривать как электрический диполь с электрическим моментом

Первую группу диэлектриков (N 2 , H 2 , О 2 , СO 2 , СH 4 , ...) составляют вещества, молекулы которых имеют симметричное строение, т. е. центры «тяжести» положительных и

отрицательных зарядов в отсутствие внешнего электрического поля совпадают и, следовательно,

дипольный момент молекулы р равен нулю. Молекулы неполярными.

Под действием внешнего электрического поля заряды неполярных молекул смещаются в

противоположные стороны (положительные по полю, отрицательные против поля) и молекула приобретает дипольный момент. Вторую группу диэлектриков (H 2 O, NH 3 , SO 2 , CO, ...) составляют вещества, молекулы которых имеют асимметричное строение, т. е. центры «тяжести» положительных и отрицательных зарядов не совпадают. Таким образом, эти молекулы в отсутствие внешнего электрического поля обладают дипольным моментом. Молекулы таких диэлектриков называются полярными. При отсутствии внешнего поля, однако, дипольные моменты полярных молекул вследствие теплового движения ориентированы в пространстве хаотично и их результирующий момент равен нулю. Если такой диэлектрик поместить во внешнее поле, то силы этого поля будут стремиться повернуть диполи вдоль поля и возникает отличный от нуля результирующий момент.

Электрическая емкость уединенного проводника

Рассмотрим уединенный проводник, т. е. проводник, который удален от других проводников, тел и зарядов. Его потенциал, согласно (84.5), прямо пропорционален заряду проводника. Из опыта следует, что разные проводники, будучи одинаково заряженными, имеют различные потенциалы. Поэтому для уединенного проводника можно записать

Величину

называют электроемкостью (или просто емкостью ) уединённого проводника. Емкость уединенного проводника определяется зарядом, сообщение которого проводнику изменяет его потенциал на единицу.

Единица электроемкости -фарад (Ф): 1 Ф - емкость такого уединенного проводника, потенциал которого изменяется на 1 В при сообщении ему заряда 1 Кл.

Согласно (84.5), потенциал уединенного шара радиуса R, находящегося в однородной среде с диэлектрической проницаемостью ε, равен

Используя формулу (93.1), получим, что емкость шара

Отсюда следует, что емкостью 1 Ф обладал бы уединенный шар, находящийся в вакууме и имеющий радиус ≈9∙10 6 км, что примерно в 1400 раз больше радиуса Земли (электроемкость Земли мФ). Следовательно, фарад - очень большая величина, поэтому на практике используются дольные единицы - миллифарад (мФ), михрофарад (мкФ), нанофарад (нФ), пикофарад (пФ). Из формулы (93.2) вытекает также, что единица электрической постоянной ε 0 - фарад на метр (Ф/м) (см.(78.3)).

§ 94. Конденсаторы

Как видно из § 93, для того чтобы проводник обладал большой емкостью, он должен иметь очень большие размеры. На практике, однако, необходимы устройства, обладающие способностью при малых размерах и небольших относительно окружающих тел потенциалах накапливать значительные по величине заряды, иными словами, обладать большой емкостью. Эти устройства получили название конденсаторов .

Если к заряженному проводнику приближать другие тела, то на них возникают индуцированные (на проводнике) или связанные (на диэлектрике) заряды, причем ближайшими к наводящему заряду Q, будут заряды противоположного знака. Эти заряды, естественно, ослабляют поле, создаваемое зарядом Q, т. е. понижают потенциал проводника, что приводит (см. (93.1)) к повышению его электроемкости.

Конденсатор состоит из двух проводников (обкладок), разделенных диэлектриком. На емкость конденсатора не должны оказывать влияния окружающие тела, поэтому проводникам придают такую форму, чтобы поле, создаваемое накапливаемыми зарядами, было сосредоточено в узком зазоре между обкладками конденсатора. Этому условию удовлетворяют (см. § 82): 1) две плоские пластины; 2) два коаксиальных цилиндра; 3) две концентрические сферы. Поэтому в зависимости от формы обкладок конденсаторы делятся наплоские, цилиндрические и сферические.

Так как поле сосредоточено внутри конденсатора, то линии напряженности начинаются на одной обкладке и кончаются на другой, поэтому свободные заряды, возникающие на разных обкладках, являются равными по модулю разноименными зарядами. Под емкостью конденсатора понимается физическая величина, равная отношению заряда Q, накопленного в конденсаторе, к разности потенциалов между его обкладками:

(94.1)

Рассчитаем емкость плоского конденсатора, состоящего из двух параллельных металлических пластин площадью S каждая, расположенных на расстоянии d друг от друга и имеющих заряды +Q и -Q,. Если расстояние между пластинами мало по сравнению с их линейными размерами, то краевыми эффектами можно пренебречь и поле между обкладками считать однородным. Его можно рассчитать используя формулы (86.1) и (94.1). При наличии диэлектрика между обкладками разность потенциалов между ними, согласно (86.1),

(94.2)

где ε - диэлектрическая проницаемость. Тогда из формулы (94.1), заменяя с учетом (94.2) получим выражение для емкости плоского конденсатора:

Для определения емкости цилиндрического конденсатора, состоящего из двух полых коаксиальных цилиндров с радиусами r 1 и г 2 (r 2 >r 1), вставленных одни в другой, опять пренебрегая краевыми эффектами, считаем поле радиально-симметричным и сосредоточенным между цилиндрическими обкладками. Разность потенциалов между обкладками вычислим по формуле (86.3) для поля равномерно заряженного бесконечного цилиндра с линейной плотностью (l- длина обкладок). При наличии диэлектрика между обкладками разность потенциалов

(94.4)

Подставив (94.4) в (94.1), получим выражение для емкости цилиндрического конденсатора:

Для определения емкости сферического конденсатора, состоящего из двух концентрических обкладок, разделенных сферическим слоем диэлектрика, используем формулу (86.2) для разности потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях r 1 и г 2 (r 2 >r 1) от центра заряженной сферической поверхности. При наличии диэлектрика между обкладками разность потенциалов

(94.6)

Подставив (94.6) в (94.1), получим

(94.7)

Если то и Таккак 4πг 2 -площадь сферической обкладки, то получаем формулу (94.3). Таким образом, при малой величине зазора по сравнению с радиусом сферы выражения для емкости сферического и плоского конденсаторов совпадают. Этот вывод справедлив и для цилиндрического конденсатора: при малом зазоре между цилиндрами по сравнению с их радиусами в формуле (94.5) можно разложить в ряд, ограничиваясь только членом первого порядка. В результате опять приходим к формуле (94.3).