Электрическая емкость цилиндра

. Отсюда

Сообщим обкладкам плоского конденсатора заряды +Q и –Q . Плотность заряда на обкладках станет равной , а напряжённость однородного электрического поля, возникшего в конденсаторе (см. 2.17):

Воспользовавшись связью напряжённости и потенциала в электрическом поле, вычислим разность потенциалов на обкладках конденсатора:

Это соотношение и позволяет определить ёмкость плоского конденсатора

(4.7)

Ёмкость этого конденсатора прямо пропорциональна площади его обкладок (S ) и обратно пропорциональна расстоянию (d ) между ними.

Напомним, что разность потенциалов между обкладками была вычислена в предположении, что поле между ними однородное. Это означает, что результат (4.7) в известном смысле идеализация. Мы вычислили ёмкость плоского конденсатора, пренебрегая краевыми искажениями поля.

Обкладками такого конденсатора являются две концентрические сферы радиусами R 1 и R 2 (рис. 4.10, b).

На прошлой лекции была вычислена разность потенциалов между обкладками сферического конденсатора. Она оказалась пропорциональна заряду конденсатора (см. 3.27).

Ёмкость, равная по определению отношению заряда к разности потенциалов, для сферического конденсатора, составит следующую величину

Этот результат свидетельствует о том, что ёмкость сферического конденсатора зависит от размеров сфер (R 1 и R 2) и от величины зазора d (d = R 1 – R 2) между ними.

Интересно, что при достаточно малом зазоре d , когда R 1 » R 2 = R , можно записать ёмкость сферического конденсатора так:

Но 4pR 2 = S - площадь поверхности сферы. Поэтому

и ёмкость сферического конденсатора оказывается равной ёмкости «эквивалентного» плоского конденсатора.

Сообщим обкладкам цилиндрического конденсатора заряды (+q ) и (–q ) (рис. 4.11.). Вычислим напряжённость поля между обкладками. Для этого выберем гауссову замкнутую поверхность в виде цилиндра радиусом R 1 < r < R 2 и высотой l . Пренебрегая краевыми эффектами (!), запишем уравнение теоремы Гаусса

Из последнего равенства заключаем, что

Теперь, воспользовавшись связью напряжённости и потенциала электрического поля , вычислим разность потенциалов между обкладками цилиндрического конденсатора

Как и в случае других конденсаторов, разность потенциалов на обкладках цилиндрического конденсатора оказалась пропорциональной заряду q . Поэтому ёмкость конкретного цилиндрического конденсатора оказывается величиной постоянной, зависящей только от размеров этого конденсатора

Основные положения и соотношения

1. Закон Кулона

F = Q 1 ⋅ Q 2 4 π ⋅ ε a ⋅ R 2 , (1)

F - сила взаимодействия между зарядами;

Q 1 и Q 2 - точечные заряды;

R - расстояние между ними;

ε a - абсолютная диэлектрическая проницаемость среды, равная ε 0 ·ε r ;

ε r - относительная диэлектрическая проницаемость;

ε 0 = 1 4 π ⋅ с 2 ⋅ 10 − 7 ≈ 8,85418782 ⋅ 10 − 12     Ф м - электрическая постоянная .

2. Напряженность электростатического поля точечного заряда Q на расстоянии R от него

E = Q 4 π ⋅ ε a ⋅ R 2 . (2)

Напряженность поля в любой точке между пластинами плоского конденсатора вдалеке от краев

здесь d - расстояние между пластинами конденсатора, U - напряжение.

r от бесконечно длинной заряженной оси с линейной плотностью τ

E = τ 2 π ⋅ ε a ⋅ r . (4)

Напряженность поля в точке, отстоящей на расстоянии r от оси цилиндрического конденсатора (r 1 <r < r 2)

E = U r ⋅ ln r 2 r 1 , (5)

здесь U - напряжение конденсатора, r 1 и r

Напряженность поля в точке, отстоящей на расстоянии R от центра сферического конденсатора (R 1 < R < R 2)

E = U ⋅ R 1 ⋅ R 2 R 2 ⋅ (R 2 − R 1) , (6)

здесь U - напряжение конденсатора, R 1 и R 2 - соответственно внутренний и внешний радиусы конденсатора.

3. Вектор электрического смещения

D → = ε a ⋅ E → . (7)

4. Общее выражение емкости конденсатора

Емкость плоского конденсатора

C = ε a ⋅ S d = ε r ⋅ ε 0 ⋅ S d , (9)

Емкость цилиндрического конденсатор а

C = 2 π ⋅ ε a ⋅ l ln r 2 r 1 , (10)

C = 4 π ⋅ ε a ⋅ R 1 ⋅ R 2 R 2 − R 1 , (11)

Емкость двухпроводной линии

C = π ⋅ ε a ⋅ l ln [ D 2 a + (D 2 a) 2 − 1 ] , (12)

здесь l - длина линии, D - расстояние между осями проводов, a - радиус проводов.

Емкость однопроводной линии

C = 2 π ⋅ ε a ⋅ l ln [ h a + (h a) 2 − 1 ] , (13)

здесь l - длина линии, h - высота подвеса провода над землей, a - радиус провода.

5. При параллельном соединении конденсаторов С 1 , С 2 , ..., С n эквивалентная емкость равна

C = C 1 + C 2 + ... + C n = ∑ k = 1 n C k . (14)

При последовательном соединении конденсаторов эквивалентная емкость определяется из формулы

1 C = 1 C 1 + 1 C 2 + ... + 1 C n = ∑ k = 1 n 1 C k . (15)

Для двух последовательно соединенных конденсаторов эквивалентная емкость составляет

C = C 1 ⋅ C 2 C 1 + C 2 , (16)

а напряжения между отдельными конденсаторами распределяются обратно пропорционально их емкостям

U 1 = U ⋅ C 2 C 1 + C 2 ;       U 2 = U ⋅ C 1 C 1 + C 2 . (17)

6. Энергия электростатического поля конденсатора

W = C ⋅ U 2 2 = Q ⋅ U 2 = Q 2 2 C . (18)

Удельная энергия электростатического поля (на единицу объема диэлектрика) выражается следующим образом

w = d W d V = E ⋅ D 2 = ε a ⋅ E 2 2 . (19)

Общая величина энергии электростатического поля выражается интегралом величины удельной энергии по всему объему диэлектрика конденсатора

W = ∫ V ε a ⋅ E 2 2 d V . (20)

7. Расчет распределения зарядов в сложных цепях, содержащих источники э. д. с. и конденсаторы, производится путем составления уравнений по двум законам:

1) По закону сохранения электричества (закон сохранения электрического заряда): алгебраическая сумма зарядов на обкладках конденсаторов, соединенных в узел и не подключенных к источнику энергии, равна алгебраической сумме зарядов, имевшихся на этих обкладках до их соединения :

Σ Q = Σ Q ′ . (21)

2) По второму закону Кирхгофа: алгебраическая сумма э. д. с. в замкнутом контуре равна алгебраической сумме напряжений на участках контура, в том числе на входящих в него конденсаторах :

∑ k = 1 n E k = ∑ k = 1 n U C   k = ∑ k = 1 n Q k C k . (22)

Упражнения и задачи

Задача 1 . Имеется конденсатор переменной емкости от 500 до 1500 пФ. Указать, какой добавочный конденсатор с минимальным диапазоном переменной емкости следует взять и как его включить, чтобы эквивалентная емкость изменялась от 100 до 250 пФ.

Ответ : 125 - 300 пФ, включить параллельно.

Задача 2 . Емкость плоского конденсатора, имеющего слюдяной диэлектрик, равна 44,3 пФ. Площадь каждой пластины конденсатора составляет 25 см 2 , расстояние между пластинами равно 3 мм.

Чему равна относительная диэлектрическая проницаемость слюды? Принимая пробивное напряжение слюды равным 80 кВ/мм, определить, при каком максимальном напряжении может работать этот конденсатор, чтобы он имел трехкратный запас прочности.

Начертить график изменения потенциала между пластинами конденсатора.

Ответ : ε r = 6; U max = 80 кВ; график падения потенциала вычерчивается по уравнению φ = U ·(1 - x/ d ), здесь U - потенциал положительно заряженной обкладки, принятый равным напряжению конденсатора, d - расстояние между пластинами, x - переменное расстояние до положительной обкладки конденсатора.

Задача 3 . Доказать, что многопластинчатый конденсатор (рис. 1), состоящий из n одинаковых пластин, площадью S каждая, с рас стоянием между двумя соседними пластинами d , с диэлектриком, абсолютная диэлектрическая проницаемость которого ε , имеет емкость, равную

C = ε a ⋅ S ⋅ (n − 1) d .

Подсчитать, сколько надо взять листов станиоля, каждый площадью S = 40 см 2 , чтобы получить многопластинчатый конденсатор емкостью 0,5 мкФ при условии, что диэлектриком является парафинированная бумага (ε r = 1,8) толщиною 0,05 мм.

Ответ : 393 листа.

Задача 4. Плоский слоистый конденсатор (рис. 2), поверхность каждой пластины которого S = 12 см 2 , имеет диэлектрик, состоящий из слюды (ε r 1 = 6) толщиною d 1 = 0,3 мм и стекла (ε r 2 = 7) толщиною d 2 =0,4 мм.

Пробивные напряженности слюды и стекла соответственно равны E 1 = 77 кВ/мм, E 2 = 36 кВ/мм.

Вычислить емкость конденсатора и предельное напряжение, на которое его можно включать, принимая для более слабого слоя двойной запас электрической прочности.

Решение

Эквивалентная емкость слоистого конденсатора определится как емкость двух последовательно соединенных конденсаторов

C = C 1 ⋅ C 2 C 1 + C 2 = ε a 1 ⋅ S d 1 ⋅ ε a 2 ⋅ S d 2 ε a 1 ⋅ S d 1 + ε a 2 ⋅ S d 2 = ε a 1 ⋅ ε a 2 ⋅ S ε a 1 ⋅ d 2 + ε a 2 ⋅ d 1 .

Подставляя сюда числовые значения, предварительно заменив ε a 1 = ε 0 ε r 1 и ε a 2 = ε 0 ε r 2 , получим

C = ε 0 ⋅ ε r 1 ⋅ ε r 2 ⋅ S ε r 1 ⋅ d 2 + ε r 2 ⋅ d 1 = 8,85 ⋅ 10 − 12 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 12 ⋅ 10 − 4 6 ⋅ 0,4 ⋅ 10 − 3 + 7 ⋅ 0,3 ⋅ 10 − 3 = 99 ⋅ 10 − 12     Ф.

Обозначим общее напряжение, подключаемое к слоистому конденсатору, через U пр , при этом заряд конденсатора будет равен

Q = C ·U пр .

Напряжения на каждом слое будут равны

U 1 = Q C 1 = C ⋅ U п р ε a 1 ⋅ S d 1 = ε a 2 ⋅ d 1 ε a 1 ⋅ d 2 + ε a 2 ⋅ d 1 ⋅ U п р; U 2 = Q C 2 = C ⋅ U п р ε a 2 ⋅ S d 2 = ε a 1 ⋅ d 2 ε a 1 ⋅ d 2 + ε a 2 ⋅ d 1 ⋅ U п р.

Напряженности электростатического поля в каждом слое

E 1 = U 1 d 1 = ε a 2 ε a 1 ⋅ d 2 + ε a 2 ⋅ d 1 ⋅ U ′ п р; E 2 = U 2 d 2 = ε a 1 ε a 1 ⋅ d 2 + ε a 2 ⋅ d 1 ⋅ U ″ п р.

Здесь U" np - общее напряжение, подключаемое к конденсатору, при котором пробивается первый слой, a U"" np - общее напряжение, при котором происходит пробой второго слоя.

Из последнего выражения находим

U ′ п р = E 1 ⋅ ε a 1 ⋅ d 2 + ε a 2 ⋅ d 1 ε a 2 = 49,5     к В; U ″ п р = E 2 ⋅ ε a 1 ⋅ d 2 + ε a 2 ⋅ d 1 ε a 1 = 27,0     к В.

Таким образом, более слабым слоем является второй; согласно условию, принимая для него двойной запас прочности, находим, что конденсатор может быть включен на напряжение, равное

27,0 кВ / 2 = 13,5 кВ.

Задача 5 . Вычислить емкость 1 км коаксиального кабеля типа 2,6/9,4. В этом кабеле изоляция осуществлена с помощью полиэтиленовых шайб (ε r = 2,2) толщиною a = 2,2 мм, размещенных через равные промежутки b = 25 мм, остальное пространство между шайбами заполнено воздухом (рис. 3). Диаметр жилы d = 2,6 мм, внутренний диаметр наружного провода D = 9,4 мм.

Указание . Емкость кабеля может быть подсчитана, исходя из того, что отдельные его участки соединены параллельно.

Ответ : 48·10 -9 Ф/км = 48 нФ/км.

Задача 6 . Силовой одножильный кабель с резиновой изоляцией в свинцовой оболочке марки СРГ имеет сечение жилы 25 мм 2 . Известно, что наибольшая напряженность электростатического поля в изоляции кабеля не должна превышать 6 кВ/мм. Определить толщину слоя резиновой изоляции, если при испытании кабеля между жилой и оболочкой включают напряжение, равное 10 кВ.

Принимая потенциал жилы кабеля равным U = 10 кВ, построить график падения потенциала в диэлектрике кабеля в зависимости от расстояния до центра кабеля.

Ответ: 2,25 мм. График строится по уравнению φ (r) = U ⋅ ln r 2 r ln r 2 r 1 .

Задача 7 . Цилиндрический конденсатор длиною l = 5 см имеет двухслойный диэлектрик (рис. 4).

Внутренний радиус r 1 = 1 см, внешний - r 2 = 3 см, радиус разграничения слоев диэлектриков r 3 = 1.5 см. Относительные диэлектрические проницаемости: внутреннего слоя изоляции ε r 1 = 2, наружного ε r 2 = 4.

Вычислить емкость конденсатора и начертить кривые изменения напряженностей и потенциалов в каждом из слоев, если конденсатор находится под напряжением U = 2 кВ.

Указание . При помощи теоремы Гаусса находятся напряженности электростатического поля в каждом из слоев

E 1 = τ 2 π ⋅ ε a 1 ⋅ r ;       E 2 = τ 2 π ⋅ ε a 2 ⋅ r ,

где τ - линейная плотность заряда (заряд на единицу длины конденсатора). Затем вычисляется напряжение между обкладками конденсатора по формуле

U = ∫ r 1 r 3 E 1 d r + ∫ r 3 r 2 E 2 d r .

Отсюда определяется линейная плотность заряда

τ = 2 π ⋅ U 1 ε a 1 ln r 3 r 1 + 1 ε a 2 ln r 2 r 3 .

Емкость конденсатора вычисляется по формуле (8). Потенциал φ 1 в любой точке области первого слоя диэлектрика (r 3 > r > r 1) определяется из выражения

φ r 1 − φ 1 = ∫ r 1 r E 1 d r ,

а потенциал φ 2 в любой точке области второго слоя (r 2 > r > r 3) диэлектрика вычисляется из выражения

φ r 2 − φ 2 = ∫ r 2 r E 2 d r .

В последних формулах φ r 1 = U - потенциал внутренней обкладки конденсатора, φ r 2 - потенциал на границе раздела диэлектриков. Внешняя оболочка заземлена: φ 2 (r 2) = 0.

C = 2 π ⋅ l 1 ε a 1 ln r 3 r 1 + 1 ε a 2 ln r 2 r 3 ; E 1 (r) = U r ⋅ (ln r 3 r 1 + ε a 1 ε a 2 ln r 2 r 3) ;       E 2 (r) = U r ⋅ (ε a 2 ε a 1 ln r 3 r 1 + ln r 2 r 3) ; φ 1 (r) = U ⋅ (1 − ln r r 1 ln r 3 r 1 + ε a 1 ε a 2 ln r 2 r 3) ;         φ 2 (r) = U ⋅ ε a 1 ε a 2 ln r 2 r ln r 3 r 1 + ε a 1 ε a 2 ln r 2 r 3 .